По сути, это мне надо только для одной цели. Чтобы можно было сидя дома придумывать формулы, а потом не думать, как перенести их туда, где они мне понадобятся. По-хорошему, конечно, стоило бы выделить на сервере немножко места, чтобы заливать туда файлы. Но это же надо искать, подключаться к ftp, заниматься многими вещами, которыми мне заниматься лень, и так далее.
Вот, кстати, этим и займусь. Последние несколько дней я сворачивал гауссом экспоненту. Выглядело это так. Есть у нас, значится, релаксация, которая выглядит примерно так:
\[f(t) = A \exp \left( -\frac{t}{\tau} \right)\]
И мы сворачиваем её функцией постоянной релаксации, имеющей форму кривой гаусса, причём не простой, а по логарифму. То есть,
\[ g(\tau) = \frac{N_{C}}{\sqrt{2 \pi} \ln(\omega)} \exp \left( -\frac{(\ln(\tau) - \ln(\tau_{0}))^2}{2(\ln(\omega))^2} \right) \]
Тогда полученная кривая будет иметь вид:
\[ f(t)*g(\tau) = \frac{A}{\ln(\omega) \sqrt{2 \pi}} \cdot \int \limits^{\infty}_{-\infty} { \exp \left( -\frac{(\ln(\tau)-\ln(\tau_{0}))^2}{2(\ln(\omega))^2} \right) \exp \left( -\frac{t}{\tau} \right) d\ln(\tau)} \]
Как легко заметить, при отражении этой функции относительно оси Oy, можно получить простую функцию, фурье-образом которой является поточечное произведение затухающей экспоненты на функцию Гаусса.
\[ \hat{f}(\lambda) = \frac{2A}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{\lambda_{0}}{\lambda_{0}^2 + \lambda^2} \cdot \left[\frac{1}{ln(\omega)\sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{(\ln(\lambda)-\ln(\lambda_{0}))^2}{2(\ln(\omega))^2} \right) \right] \]
Но всё не так просто, как кажется на первый взгляд.
Когда я сравнил эту функцию с тем, что получается при реальном преобразовании, оказалось, что в квадратных скобках появляется какая-то константа. Если разделить образ уширенной экспоненты на образ классической, получается что-то вроде кривой
\[ \hat{f}(\lambda) = 1 - \frac{C}{\sqrt{2\pi}} + \frac{C}{\ln(\omega)\sqrt{2\pi}}*\exp \left( -\frac{(\ln(\lambda) - \ln(\lambda_{0}))^2}{2 \ln(\omega)} \right) \]
Что выглядит довольно естественно. В конце-концов, когда гаусс при нулевой полуширине схлопывается в единицу, функция отношения должна сингулировать к
\[ \hat{f}(\lambda) = 1 \]
Но как это пояснить математически, я не понимаю.
Наверное, дело в том, что мы интегрируем по логарифму постоянной времени, из-за чего возникает какая-то константа со временем. Но откуда она берётся и как её рассчитать аналитически, я не знаю. А считать "с точностью до константы" как-то неприлично.
Как же быть?